Żargon matematyczny[edytuj]

Żargon matematyczny – specyficzny język (przede wszystkim mówiony) używany do opisu obiektów i procedur matematycznych, używający wielu słów i zwrotów języka naturalnego, lecz nadający im nowy, czasem wręcz przeciwny sens. Żargon stanowi przeciwieństwo formalizmu.

Spójniki logiczne

Przeciwieństwa i różnice między językiem naturalnym a żargonem matematycznym są szczególnie widoczne w kontekście spójników logicznych.

Główny problem sprawia rozróżnienie spójników i (koniunkcja) oraz lub (alternatywa) – w mowie potocznej mają zupełnie inne znaczenia, niż w żargonie matematycznym. Np. po rozwiązaniu równania <math>(x-4)(x-5)=0</math> uczeń może odpowiedzieć: rozwiązaniami tego równania są <math>x=4</math> i <math>x=5</math>. W języku naturalnym stwierdzenie to jest prawidłowe i samo się nasuwa. Jednak gdyby przełożyć je na język matematyki, otrzymue się koniunkcję rozwiązań: <math>x=4 \wedge x=5</math>, co daje <math>x\in\empty</math>. Zatem z formalnego punktu widzenia odpowiedź ucznia należałoby uznać za niepoprawną. Problem powstał, ponieważ znaczenie spójników „i” oraz „lub” z języka potocznego nie przekłada się na znaczenia tych słów w żargonie – koniunkcję i alternatywę. Z utrzymaniem dyscypliny żargonu matematycznego mogą mieć problemy także sami nauczyciele – na przykład o sumie zbiorów <math>A</math> i <math>B</math> często mówi się, że to wszystkie elementy które należą do A i wszystkie elementy, które należą do B, i żadne inne. Użycie tu spójnika „i” w mowie potocznej jest naturalne, lecz w żargonie matematycznym doprowadza do sprzeczności, gdyż sumę zbiorów definiuje się alternatywą, a nie koniunkcją: <math>A\cup B := \{x: x\in A \vee x\in B\}</math>. Jednak mówienie o tej definicji: wszystkie elementy które należą do A lub wszystkie elementy które należą do B mogłoby być jeszcze bardziej mylące dla uczniów, ponieważ dysonans między językiem naturalnym a żargonem matematycznym byłby jeszcze większy. Wtedy zaś przekładając definicję przecięcia zbiorów <math>A\cap B:= \{x : x\in A \wedge x\in B\}</math> na język mówiony powinno się powiedzieć: wszystkie elementy, które należą do A i wszystkie elementy, które należą do B, co w starciu z językiem naturalnym jest całkowicie nieintuicyjne i sprzeczne.

W języku naturalnym nie ma rozróżnienia między spójnikami lub i albo. Mówiąc np. pójdę jutro do teatru lub do opery w języku naturalnym zrozumiemy to jako wybór dokładnie jednej z dwóch opcji. Tymczasem w żargonie matematycznym dopuszczalibyśmy możliwość pójścia w oba te miejsca jednocześnie. Słowo lub oznacza w matematyce alternatywę niewykluczającą. Słowo albo oznacza w matematyce alternatywę wykluczającą.

Problem stanowi także implikacja. Słowo jeśli/jeżeli w języku naturalnym jest zazwyczaj rozumiane jako równoważność. Znajduje to swoje odzwierciedlenie także w potocznym żargonie matematycznym, np. trójkąt jest równoramienny, jeśli ma co najmniej dwa boki równej długości – w tej definicji użyto słowa jeśli nie jako implikacji, lecz jako równoważności (wtedy i tylko wtedy). Powszechnie w matematyce przy podawaniu definicji obiektów matematycznych używa się słowa jeśli, zamiast wtedy i tylko wtedy – robią to także matematycy uznawani za najwybitniejszych, np. Kuratowski, Sierpiński. Sam zwrot wtedy i tylko wtedy jest sztucznie wymyślony na potrzeby matematyki i nie znajduje się w języku naturalnym. Samo rozumienie implikacji (jeśli ..., to ...) może sprawiać problemy, gdyż w języku naturalnym wyraża równoważność tzn. sytuację w której poprzednik implikacji musi być spełniony, by mógł być spełniony jej następnik, zaś w matematyce implikację uznamy za prawdziwą zawsze również wtedy, gdy poprzednik jest fałszywy.

Formalizm a żargon teoriomnogościowy

Istnieje kontrast pomiędzy potocznością mówionego języka matematycznego a formalizmem teorii mnogości. Mówi się np., że punkt leży na prostej, podczas gdy prosta to zbiór, zatem z formalnego punktu widzenia powinno się mówić, że punkt należy do prostej, a jednak tak się zwykle nie mówi. Gdyby rozróżniać pojęcie kąt oraz miara kąta, to powinno się mówić o kątach przystających, a w żargonie mówi się o kątach równych. Problemem jest także to, iż formalizacja teoriomnogościowa jest jednym z wielu sposobów formalizacji matematyki, a w każdym z nich wymagany byłby inny język do opisu tych samych zjawisk.

Inne przykłady

• Ta funkcja przeprowadza zbiór <math>A</math> na zbiór <math>B</math> – to zdanie podaje nam od razu informację, że rozpatrywana funkcja jest suriekcją. Słowo na można używać wyłącznie w kontekście funkcji suriektywnych. Dla funkcji, które nie są suriekcjami lub dla których nie mamy informacji na ten temat należy użyć słowa w.
• Udowodnij, że dla dowolnej liczby dodatniej <math>x</math> zachodzi nierówność <math>x+\frac{1}{x}\geq 2</math> – słowo dowolnej oznacza w żargonie każdej. Jednak laik, posługujący się językiem naturalnym, mógłby rozwiązać to zadanie następująco: Biorę dowolną liczbę dodatnią, np. <math>x=4</math> i sprawdzam: <math>4+1/4 > 2</math>; zgadza się, zatem udowodniłem.
• Wartości tej funkcji są zawsze dodatnie – słowo zawsze nie odnosi się tu do zmiany wartości funkcji w czasie (choć w języku naturalnym oznaczałoby to, że niezależnie od tego, czy sprawdzimy to teraz, czy za jakiś czas, wartości nadal będą dodatnie), lecz do zakresu zmienności argumentu funkcji – słowo zawsze oznacza wszystkie.
• Wartości tej funkcji rosną – oznacza, że <math>\forall_{x>y} f(x)>f(y)</math>.
• Po dosypaniu do urny losów wygrywających, prawdopodobieństwo wygrania wzrośnie – w rzeczywistości wcześniejsze prawdopodobieństwo jest liczbą, późniejsze także jest liczbą, więc mamy na myśli, że ta druga liczba jest większa od pierwszej – ale to są tylko liczby, więc żadna z nich nie rośnie, są stałe.
• Wykaż, że <math>|x|\geq 0</math> – w sytuacji w której nie podaje się jawnie kwantyfikatora, domyślnie zawsze jest kwantyfikator duży. Tzn. podane wyrażenie należy rozumieć jako <math>\forall_{x\in\mathbb{R}} |x|\geq 0</math>, a nie np. <math>\exists_{x\in\mathbb{R}} |x|\geq 0</math>.
• Dowód tego twierdzenia jest trywialny, więc go pominiemy – w żargonie matematycznym słowo trywialny oznacza wynikający wprost z definicji.
• q.e.d. – od łacińskiego quod erat demonstrandum – skrót stawiany na końcu dowodu. W języku polskim spotyka się także c.n.d. (co należało dowieść), c.b.d.u. (co było do udowodnienia) itp. W publikacjach naukowych dowody kończy się zwykle symbolem <math>\square</math> lub <math>\blacksquare</math>.
• dobrze zdefiniowany – tzn. nie zawierający subtelnych nieścisłości, błędów (konieczność sprawdzenia czy obiekt jest dobrze zdefiniowany występuje często np. przy używaniu klas abstrakcji w definicji jakiegoś obiektu lub funkcji).

Przypisy

---

Źródło: Ten artykuł bazuje na treści artykułu: Żargon matematyczny z Wikipedii; autorzy: w historii edycji; prawa autorskie: licencja CC-BY-SA 3.0 oraz GNU FDL W Wikipedii odbyła się dyskusja nad usunięciem tego artykułu, zobacz ją.