Iloczyn tensorowy

Z PrePedia
Skocz do: nawigacja, szukaj

Iloczyn tensorowy – uogólnienie mnożenia liczb przypisujące w najprostszym przypadku dwu wektorom tensor. Oznaczany symbolem <math>\otimes</math>.

Jest uniwersalnym odwzorowaniem dwuliniowym.

Przestrzenie i wektory

Iloczyn tensorowy przestrzeni przypisuje dwóm przestrzeniom wektorowym przestrzeń iloczynów tensorowych ich elementów.

Uogólnieniem takiego iloczynu tensorowego wektorów przestrzeni euklidesowych jest iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych (wektorowych) i iloczyn tensorowy modułów.

Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowo-topologicznych stanowi uzupełnienie iloczynu tensorowego danych przestrzeni jako przestrzeni wektorowych. Przy czym iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta i ogólnie przestrzeni nuklearnych jest jednoznaczny, ale np. iloczyn tensorowy przestrzeni Banacha już nie.

W szczególności iloczyny tensorowe C*-algebr dla pary C*-algebr A i B to C*-algebry będące uzupłenieniami C*-norm na (algebraicznym) iloczynie tensorowym AB jako przestrzeni liniowych, uzależnionych od norm w A i B. W ogólności, może istnieć wiele nieizomorficznych iloczynów tensorowych danej pary C*-algebr. Każda C*-norma na AB jest normą krzyżową[1], tj. spełnia warunek

<math>\|a\otimes b\|=\|a\|\cdot\|b\|\;\;\;(a\in A, b\in B)</math>.

Istnieje minimalny i maksymalny iloczyn tensorowy, a dla przestrzeni nuklearnych są one równe.

Operatory

Iloczyn tensorowy operatorów przypisuje dwu operatorom

<math>\varphi : V_1 \to V_2</math>
<math>\psi : W_1 \to W_2</math>

operator

<math>\varphi \otimes \psi : v \otimes w \mapsto (\varphi v) \otimes (\psi w)</math>.

Szczegóły definicji mogą być prostsze, jeśli chodzi o iloczyn tensorowy operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta, a bardziej skomplikowane dla iloczynu tensorowego operatorów nieograniczonych

W mechanice kwantowej spotyka się iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy wektorów operatorów, w którym poszczególne składowe mnoży się za pomocą iloczynu tensorowego operatorów.

Przestrzeń iloczynów tensorowych operatorów to iloczyn tensorowy przestrzeni operatorów. (?)

Reprezentacje

Iloczyn tensorowy reprezentacji grup to odwzorowanie <math>\otimes</math> przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy iloczyn tensorowy odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

<math>\varphi : G \to GL(V)</math>
<math>\psi : G \to GL(W)</math>

jest to

<math>\varphi \otimes \psi : G \to GL(V \otimes W)</math>
<math>(\varphi \otimes \psi)(g) = \varphi(g) \otimes \psi(g)</math>

Przypisy

  1. B. J. Vowden, C*-Norms and tensor products of C*-algebras, J. London Math. Soc. (2), 7(1974), 595-596.



Wiki-wordmark.png Artykuł utworzony w PrePedii.
Traffic lights 4 states 3.png Ten artykuł zawiera niewystarczająco uźródłowione informacje.

iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy wektorów operatorów można zapisać w następujący sposób:

<math>\vec{\hat{j}}_1 \stackrel{\otimes}{\cdot} \vec{\hat{j}}_2</math>
<math>\vec{\hat{j}}_1 \stackrel{\otimes}{\times} \vec{\hat{j}}_2</math>
Traffic lights 4 states 4.png Ten artykuł zawiera treści stanowiące niepopartą źródłami twórczość własną.